Predictor–corrector Obreshkov pairs

Predictor–corrector Obreshkov pairs

journal article - other

en

The combination of predictor–corrector (PEC) pairs of Adams methods can be generalized to high derivative methods using Obreshkov quadrature formulae. It is convenient to construct predictor–corrector pairs using a combination of explicit (Adams–Bashforth for traditional PEC methods) and implicit (Adams–Moulton for traditional PEC methods) forms of the methods. This paper will focus on one special case of a fourth order method consisting of a two-step predictor followed by a one-step corrector, each using second derivative formulae. There is always a choice in predictor–corrector pairs of the so-called mode of the method and we will consider both PEC and PECE modes. The Nordsieck representation of Adams methods, as developed by C. W. Gear and others, adapts well to the multiderivative situation and will be used to make variable stepsize convenient. In the first part of the paper we explain the basic approximations used in the predictor–corrector formula. Those can be written in terms of Obreshkov quadrature. Next section we discuss the equations in terms of Nordsieck vectors. This provides an opportunity to extend the Gear Nordsieck factorization to achieve a variable stepsize formulation. Numerical tests with the new method are also discussed. The paper will present Prothero–Robinson and Kepler problem to illustrate the power of the approach.

Kombinace dvojic prediktor-korektor (PEC) založené na Adamsových metodách lze zobecnit na metody vyšších derivací využívající Obreshkovovy kvadraturní vzorce. Je vhodné sestavit dvojice typu prediktor-korektor jako dvojice typu explicitní metoda (Adams-Bashforthova metoda) a implicitní metoda (Adams-Moultonova metoda). Tato práce se zaměřuje na jeden zvláštní případ metody čtvrtého řádu obsahující dvoukrokový prediktor, který je následován jednokrokovým korektorem, a kdy oba obsahují druhé derivace. U metod typu prediktor-korektor vždy existuje možnost volby, tzv. módu metody, v této práci uvažujeme o PEC módu i PECE módu. Reprezentace Adamsových metod pomocí Nordsieckovy transformace, kterou vyvinul C. W. Gear a další, je velmi vhodná pro metody využívající vyšší derivace a také pro implementaci proměnlivého integračního kroku. V první části práce jsou vysvětleny základní aproximace použité pro výpočet dvojic prediktor-korektor. Dvojice jsou následně zapsány pomocí členů Obreshkovovy kvadratury a v další části přeformulovány do Nordsieckovy transformace, která poskytuje rozšířit řešení pro proměnlivý integrační krok. Jsou také prezentovány numerické testy a příklady jako Prothero-Robinson a Kepler problem, které ilustrují sílu tohoto přístupu.

The combination of predictor–corrector (PEC) pairs of Adams methods can be generalized to high derivative methods using Obreshkov quadrature formulae. It is convenient to construct predictor–corrector pairs using a combination of explicit (Adams–Bashforth for traditional PEC methods) and implicit (Adams–Moulton for traditional PEC methods) forms of the methods. This paper will focus on one special case of a fourth order method consisting of a two-step predictor followed by a one-step corrector, each using second derivative formulae. There is always a choice in predictor–corrector pairs of the so-called mode of the method and we will consider both PEC and PECE modes. The Nordsieck representation of Adams methods, as developed by C. W. Gear and others, adapts well to the multiderivative situation and will be used to make variable stepsize convenient. In the first part of the paper we explain the basic approximations used in the predictor–corrector formula. Those can be written in terms of Obreshkov quadrature. Next section we discuss the equations in terms of Nordsieck vectors. This provides an opportunity to extend the Gear Nordsieck factorization to achieve a variable stepsize formulation. Numerical tests with the new method are also discussed. The paper will present Prothero–Robinson and Kepler problem to illustrate the power of the approach.

Metody PEC, Adamsovy metods, Nordsieckova reprezentace, Obyčejné diferenciální rovnice, Numerické metody

PEC methods, Adams methods, Nordsieck representation, Ordinary differential equations, Numerical methods

2013

10.01.2013

Springer-Verlag Wien

AT

0010-485X

95

5

355–371

17