Routhovo–Hurwitzovo kritérium zlomkového typu při analýze stability Lorenzova dynamického systému

The Routh–Hurwitz conditions of fractional type in stability analysis of the Lorenz dynamical system

journal article in Web of Science

en

This paper discusses stability conditions and a chaotic behavior of the Lorenz dynamical system involving the Caputo fractional derivative of orders between 0 and 1. We study these problems with respect to a general (not specified) value of the Rayleigh number as a varying control parameter. Such a bifurcation analysis is known for the classical Lorenz system; we show that analysis of its fractional extension can yield different conclusions. In particular, we theoretically derive (and numerically illustrate) that nontrivial equilibria of the fractional Lorenz system become locally asymptotically stable for all values of the Rayleigh number large enough, which contradicts the behavior known from the classical case. As a main proof tool, we derive the optimal Routh–Hurwitz conditions of fractional type. Beside it, we perform other bifurcation investigations of the fractional Lorenz system, especially those documenting its transition from stability to chaotic behavior.

Článek popisuje podmínky stability a chaotického chování Lorenzova dynamického systému, zahrnujícího Caputovu zlomkovou derivaci řádu mezi 0 a 1. Tyto otázku jsou zkoumány vzhledem k obecné (nespecifikované) hodnotě Rayleighova čísla jako měnícího se řídícího parametru. Tato bifurkační analýza je známa pro klasický Lorenzův systém; ukážeme, že analýza jeho zlomkového rozšíření může dát odlišné závěry. Speciálně je teoreticky odvozena (a numericky ilustrována) lokální asymptotická stabilita netriviálních rovnovážných stavů pro všechny dostatečně velké hodnoty Rayleighova číslo, což je odlišné chování od klasického případu. Jako hlavní důkazový důkaz nástroj jsou odvozeny optimální Routhovy–Hurwitzovy podmínky stability zlomkové typu. Také jsou provedena další vyšetřování bifurkací zlomkového Lorenzova systému, zejména těch, které dokumentují jeho přechod od stabilního k chaotickému chování.

This paper discusses stability conditions and a chaotic behavior of the Lorenz dynamical system involving the Caputo fractional derivative of orders between 0 and 1. We study these problems with respect to a general (not specified) value of the Rayleigh number as a varying control parameter. Such a bifurcation analysis is known for the classical Lorenz system; we show that analysis of its fractional extension can yield different conclusions. In particular, we theoretically derive (and numerically illustrate) that nontrivial equilibria of the fractional Lorenz system become locally asymptotically stable for all values of the Rayleigh number large enough, which contradicts the behavior known from the classical case. As a main proof tool, we derive the optimal Routh–Hurwitz conditions of fractional type. Beside it, we perform other bifurcation investigations of the fractional Lorenz system, especially those documenting its transition from stability to chaotic behavior.

Zlomkový Lorenzův dynamický systém; zlomkové Routhovy – Hurwitzovy podmínky; přepínač stability; chaotický atraktor

Fractional-order Lorenz dynamical system; Fractional Routh–Hurwitz conditions; Stability switch; Chaotic attractor

12.01.2017

Springer

Dordrecht, Netherlands

1573-269X

87

2

939–954

16