Zdokonalená heuristika vkládání pro Steinerův problém v euklidovské rovině

An Improved Insertion Heuristic for the Euclidean Minimum Steiner Tree Problem

kapitola v knize

en

The Euclidean Steiner Tree Problem is to find a shortest network spanning a set of fixed points in the plane, allowing the addition of auxiliary points to the set. The problem being NP-hard, polynomial-time approximations or heuristics are required. There are many rather complex heuristics based, e.g., on enumerating full topologies and consuming long time for computations for large instances. In this paper, we applied to use tools of computational geometry, especially the properties of Delaunay triangulation, a well-known geometric structure, and combine them with insertion heuristics based on the construction of the Euclidean minimum spanning tree. Thus an algorithm could be proposed that is very efficient and fast. Experiments confirmed that computations by this algorithm generate very good results in a reasonable amount of time, even for large instances of the studied problem.

Steinerův problém v euklidovské rovině spočívá v nalezení nejkratší sítě spojující zadanou množinu bodů v rovině (označujeme je jako terminály) s tím, že v síti se mohou objevit i pomocné body, které mezi terminály nepatří. Problém je NP-těžký, a proto je nutné jej řešit aproximativními nebo heuristickými algoritmy. Existuje řada poměrně složitých heuristik založených např. na plných topologiiích a vyžadujících dlouhý čas výpočtu pro větší instance problému. V příspěvku jsou využity nástroje počítačové geometrie, zvláště vlastnosti Delaunayho triangulace a ty jsou pak kombinovány s heuristikou vkládání založené na konstrukci euklidovské kostry. Tento algoritmus je velmi efektivní a rychlý. Experimenty potvrzují, že výpočty podle algoritmu generují velmi dobré výsledky v rozumném čase, a to dokonce i pro velké instance studovaného problému.

The Euclidean Steiner Tree Problem is to find a shortest network spanning a set of fixed points in the plane, allowing the addition of auxiliary points to the set. The problem being NP-hard, polynomial-time approximations or heuristics are required. There are many rather complex heuristics based, e.g., on enumerating full topologies and consuming long time for computations for large instances. In this paper, we applied to use tools of computational geometry, especially the properties of Delaunay triangulation, a well-known geometric structure, and combine them with insertion heuristics based on the construction of the Euclidean minimum spanning tree. Thus an algorithm could be proposed that is very efficient and fast. Experiments confirmed that computations by this algorithm generate very good results in a reasonable amount of time, even for large instances of the studied problem.

Steinerův strom, kostra, Delaunayho triangulace, časová složitost, NP-těžké problémy

Steiner tree, spanning tree, Delaunay triangulation, time complexity, NP-hard problems

2007

31.12.2007

DAAAM International

Wien (Austria)

3-901509-60-7

Katalinic, B. (ed.): DAAAM International Scientific Book 2007

1

501–512

12