Alexandrovovy pretopologie pro strukturování digitální roviny

Alexandroff pretopologies for structuring the digital plane

článek v časopise ve Web of Science, Jimp

en

We explore the possibility of employing Alexandroff pretopologies as structures on the digital plane Z^2 convenient for the study of geometric and topological properties of digital images. These pretopologies are known to be in one-to-one correspondence with reflexive binary relations so that graph-theoretic methods may be used when investigating them. We discuss such Alexandroff pretopologies on Z2 that possess a rich variety of digital Jordan curves obtained as circuits in a natural graph with the vertex set Z2. Of these pretopologies, we focus on the minimal ones and study their quotient pretopologies on Z2 which are shown to allow for various digital Jordan curve theorems. We also develop a method for identifying Jordan curves in the minimal pretopological spaces by using Jordan curves in one of their quotient spaces. Using this method, we conclude the paper with proving a digital Jordan curve theorem for the minimal pretopologies.

Zkoumáme možnosti využití Alexandrovových pretopologií jako struktur na digitální rovině Z ^ 2 pro studium geometrických a topologických vlastností digitálních obrazů. Je známo, že tyto pretopologies jsou v jednojednoznačné korespondenci s reflexivní binární relacemi, takže grafově-teoretické metody mohou být využity při jejich vyšetřování. Budeme diskutovat takové Alexandrovovy pretopologies na Z^2, které mají bohatou škálu digitálních Jordanových křivek získaných jako kružnice v přirozeném graf s množinou vrcholů Z^2. Mezi těmito pretopologiemi se budeme soustředit na minimální a studovat jejich faktorové pretopologie na Z^2, pro které bude ukázáno, že splňují analogie Jordan věty. Navrhneme také metodu pro určení Jordanových křivek v minimální pretopologickém prostoru pomocí Jordanových křivek v jejich faktorivých prostorech. Na závěr článku pomocí této metody dokážeme digitální Jordanovu větu pro minimální pretopologie.

We explore the possibility of employing Alexandroff pretopologies as structures on the digital plane Z^2 convenient for the study of geometric and topological properties of digital images. These pretopologies are known to be in one-to-one correspondence with reflexive binary relations so that graph-theoretic methods may be used when investigating them. We discuss such Alexandroff pretopologies on Z2 that possess a rich variety of digital Jordan curves obtained as circuits in a natural graph with the vertex set Z2. Of these pretopologies, we focus on the minimal ones and study their quotient pretopologies on Z2 which are shown to allow for various digital Jordan curve theorems. We also develop a method for identifying Jordan curves in the minimal pretopological spaces by using Jordan curves in one of their quotient spaces. Using this method, we conclude the paper with proving a digital Jordan curve theorem for the minimal pretopologies.

Digitální rovina, Jordanova křivka, Alexandrovova pretopologie, faktorová pretopologie

Digital plane, Jordan curve, Alexandroff pretopology, quotient pretopology

15.01.2017

Elsevier

Nizozemsko

0166-218X

216

2

323–334

12