Mocninné funkce a základy zlomkového kalkulu na izolovaných časových škálách

Power functions and essentials of fractional calculus on isolated time scales

článek v časopise - ostatní, Jost

en

This paper concerns with a recently suggested axiomatic definition of power functions on a general time scale and its consequences to fractional calculus. Besides a discussion of existence and uniqueness of such functions, we derive an efficient formula for the computation of power functions of rational orders on an arbitrary isolated time scale. It can be utilized in the introduction and evaluation of fractional sums and differences. We also deal with the Laplace transform of such fractional operators which, apart from solving of fractional difference equations, enables a more detailed comparison of our results with those in the relevant literature. Some illustrating examples (including special fractional initial value problems) are presented as well.

Tento článek se zabývá nedávno navrženou axiomatickou definicí mocninných funkcí na obecné časové škále a jejími důsledky pro zlomkový kalkulus. Kromě diskuze existence a jednoznačnosti takových funkcí, odvodíme efektivní vztah pro výpočet hodnot mocninných funkcí racionálního řádu na libovolné izolované časové škále. Tím mohou být uvedeny a vyčíslovány zlomkové sumy a diference. Také se zabýváme Laplaceovou transformací těchto operátorů, což, kromě řešení diferenčních rovnic, umožňuje detailnější srovnání našich výsledků se související literaturou. Pro ilustraci uvádíme několik příkladů (včetně speciálního zlomkového počátečního problému).

This paper concerns with a recently suggested axiomatic definition of power functions on a general time scale and its consequences to fractional calculus. Besides a discussion of existence and uniqueness of such functions, we derive an efficient formula for the computation of power functions of rational orders on an arbitrary isolated time scale. It can be utilized in the introduction and evaluation of fractional sums and differences. We also deal with the Laplace transform of such fractional operators which, apart from solving of fractional difference equations, enables a more detailed comparison of our results with those in the relevant literature. Some illustrating examples (including special fractional initial value problems) are presented as well.

zlomkový kalkulus; mocninné funkce; časové škály; konvoluce; Laplaceova transformace

fractional calculus; power functions; time scales; convolution; Laplace transform

2013

23.08.2013

Springer

1687-1847

2013

8

1–18

18