Aplikovaná teorie diferenciálních rovnic reálných řádů
Skupina se dlouhodobě zabývá problematikou kvalitativní a numerické analýzy obyčejných diferenciálních rovnic celočíselných a neceločíselných řádů, včetně rovnic zahrnujících faktor časového zpoždění. Mezi klíčová témata patří lineární a nelineární diferenciální rovnice, dynamické rovnice na časových škálách, stabilita, oscilace a asymptotika jejich řešení, regulární variace, dynamické systémy a jejich řízení (stabilizace, destabilizace, chaotifikace, synchronizace), numerická diskretizace.
Formální výstupy
Členové skupiny se podílejí na řešení projektů GAČR v rámci dlouhodobé spolupráce s Masarykovou univerzitou (aktuálně řešený projekt letos končí, byla podána přihláška do nové grantové soutěže). Výsledky publikují v odborných časopisech s velkým čtenářským dosahem, resp. v monografiích, a to především formou spoluautorství (uvnitř skupiny, příp. v rámci spolupráce se zahraničními odborníky). Podílejí se také na rozvoji běžného akademického života (organizace seminářů, konferencí, působení v redakčních radách odborných časopisů).
Zahraniční spolupráce
The University of Florence (S. Matucci), The University of Modena (V. Taddei, L. Malaguti), Osaka Metropolitan University (H. Matsunaga, N. Yamaoka).
Spolupráce s ostatními odbory/skupinami na Ústavu matematiky
Tato skupina je otevřena jakékoliv odborné spolupráci v rámci ústavu (i mimo něj). Povaha našeho výzkumu nabízí styčná témata na poli matematické analýzy (zejména komplexní a funkcionální), numerické matematiky (vč. programování), (lineární) algebry, teorie pravděpodobnosti (negaussovská rozdělení pravděpodobnosti při řešení zlomkových modelů, asymptoticky škálová invariance), fuzzy logiky (fuzzy řízení zlomkových systémů), či v problematice fraktálů (grafické vizualizace řešení chaotických dynamických systémů). Tím se přirozeně otevírá prostor pro spolupráci s odborníky v uvedených oblastech, přičemž v rámci ÚM již byla taková spolupráce realizována.
Vědecká příprava bakalářských a magisterských studentů
Vypisování témat závěrečných prací je do určité míry v rámci skupiny koordinováno. Témata jsou vypisována buď v přímé návaznosti na prováděný výzkum (obvykle numerické simulace získaných teoretických výsledků, či jejich jiná podpora), nebo ze základních oblastí tohoto výzkumu. Skupina však nabízí i originální témata z jiných oblastí matematiky, jejichž smyslem je především podpořit zájem studentů o obor matematické inženýrství.
Řešitelé – zaměstnanci:
Jan Čermák, Tomáš Kisela, Luděk Nechvátal, Pavel Řehák, Petr Tomášek
Řešitelé – doktorští studenti:
Lucie Fedorková
Obyčejné diferenciální rovnice – okrajové úlohy a asymptotická teorie
Zabýváme se studiem kvalitativních vlastností řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Jedná se zejména o otázky existence a jednoznačnosti řešení různých okrajových úloh jak v lineárním, tak i nelineárním případě a závislosti řešení na parametrech vedoucí k bifurkačním úlohám. Zajímají nás také asymptotické vlastnosti řešení obyčejných diferenciálních rovnic, např. otázky stability a oscilatoričnosti řešení. Studované rovnice jsou motivovány úlohami objevujícími se v matematických modelech procesů v mechanice a jiných inženýrských oborech, např. rovnice Duffingova typu, rovnice s relativistických diferenciálním operátorem, rovnice s pp-laplacianem. Hlavním nástrojem našeho výzkumu jsou metody matematické analýzy, které jsou vhodně přizpůsobeny pro studium jednotlivých úloh.
Spolupráce s ostatními ústavy fakulty i mimo ní:
Jsme otevřeni jakékoli spolupráci v oblastech našeho zájmu. Pro bližší představu níže uvádíme některé úlohy, kterými se v poslední době zabýváme.
V současné době probíhá spolupráce s Odborem fluidního inženýrství Viktora Kaplana Energetického ústavu (zejména s panem profesorem Pochylým) v otázce matematického modelovaní pulzací kapaliny v uzavřené nádobě.
Příklady oblastí výzkumu, výstupy najdete zde.
Bakalářské a diplomové práce:
Témata závěrečných prací jsou vypisována jak z oblasti prováděného výzkumu, tak i z oblasti aplikací diferenciálních rovnic ve fyzice a inženýrských oborech. Jsou také vypisována témata z ostatních oblastí matematické analýzy, které nejsou zahrnuty ve studijních programech a mohou tak rozšířit znalosti studentů matematického inženýrství.
Členové:
Alexander Lomtatidze, Zdeněk Opluštil, Jiří Šremr