Algebry polynomů a Weilovy algebry v aplikacích

Různé otázky spojené s vlastnostmi polynomiálních algeber včetně studia F-racionálních bodů, iracionalit, faktorizace algeber, homomorfismů faktorových (Weilových) algeber, apod., s cílem aplikovat algebraické metody především v diferenciální geometrii, ale i v některých úlohách algebraické a diofantické geometrie. Užití v řadě disciplín od mechaniky po kryptografii.

Vybrané nejnovější publikace:
Maya, B., Kureš, M., Some tridiagonal matrices and determinants of Schur-Cohn criterion for trinomials, Scientif. Bull. P. U. B. Ser. A, přijato k publikaci
Navrátil, D., Matrix representation of third order jet groups, Annales U.M.C.S., přijato k publikaci
Kureš, M., On coordinate expressions of jet groups and their representations, Geom. Integr. Quant. 2021
Kureš, M., Skula, L., Reduction of matrices over orders of imaginary quadratic field. Lin. Alg. Appl. 2011
Klaška, J., Quartic polynomials with a given discriminant. Math. Slov. 2022
Klaška, J. Skula, L., Law of inertia for the factorization of cubic polynomials – the real case. Util. Math. 2017
Tomáš, J., The general rigidity result for bundles of A-covelocities and A-jets, Czech. Math. J. 2017
Tomáš, J., Bundles of (p,A)-covelocities and (p.A)-jets, Miskolc Math. N. 2013

Přidělená doktorská témata:
Algebry duálních čísel a jejich zobecnění, využití ve šroubovém kalkulu, doktorandka Baraah Maya, školitel Miroslav Kureš
Algebraicko-geometrické metody v mechanice kontinua a u materiálů s mikrostrukturou, doktorand Dušan Navrátil, školitel Miroslav Kureš
Homogenní prostory a foliace z hlediska teorie jetových prostorů a Weilových funktorů a jejich fyzikální aplikace, doktorand Filip Petrák, školitel Jiří Tomáš

Příklady obhájených diplomových a bakalářských prací:
Algebraické metody řešení kubické rovnice, BP, řešitelka Vladimíra Sladká, vedoucí Jiří Klaška
Dva typy septických trinomů a jejich užití v hypereliptické kryptografii, BP, řešitelka Adéla Felcmanová, vedoucí Miroslav Kureš
Lieovy grupy z hlediska kinematiky a aplikací v robotice, DP, řešitel Jan Kalenský, vedoucí Jiří Tomáš

Spolupráce:
École spéciale militaire de Saint-Cyr, Francie

Personální složení:
Miroslav Kureš (vedoucí), Jiří Klaška, Jiří Tomáš, dále doktorští studenti a studenti magisterského stupně

Algebraické a topologické metody v matematice a informatice

Výzkumná skupina se zabývá studiem algebraických a topologických metod se zaměřením na jejich aplikace v různých oblastech matematiky (homotopická teorie, matematická logika – zejména teorie modelů, diskrétní matematika apod.) a informatiky (verifikace programů, zpracování digitálních obrazů atd.). Konkrétní výzkumné zaměření jednotlivých členů skupiny je následující:

J. Šlapal v sérii článků zaměřených na digitální topologii, což je důležité odvětví diskrétní geometrie, navrhl nové strukturace digitální roviny a digitálního prostoru založené na využití uzávěrových operátorů (obecnějších než Kuratowského uzávěrové operátory), které poskytují vhodný pojem souvislosti pro studium a zpracování digitálních obrazů. Zatímco dosud se zaměřoval na 2D obrazy, ve svém dalším výzkumu se bude věnovat hledání nástrojů vhodných pro studium a zpracování 3D digitálních obrazů. Bude také pokračovat ve výzkumu v oblasti kategoriální topologie, kde se zaměřuje na studium topologických struktur na kategoriích, jako jsou uzávěrové prostory, konvergenční struktury, struktury okolí, kvaziuniformní struktury apod. Tak jako dosud se bude rovněž věnovat studiu kartézsky uzavřených kategorií, které nacházejí významné uplatnění v moderní informatice.

J. Pavlík dosáhl cenných výsledků při studiu zobecněných metrických prostorů z hlediska jejich využití při navrhování nových metod zpracování digitálních obrazů. Jedná se o metody založené na prahování pomocí zobecněné ultrametriky, která umožňuje charakterizovat objekty rozličných vlastností v digitálních obrazech. Tyto metody J. Pavlík dále rozvíjí, zejména po obecné stránce, a studuje jejich matematické pozadí. S tímto studiem úzce souvisí nevyřešené problémy na pomezí teorie grafů a metrických prostorů, na jejichž řešení se také zaměří (jedná se např. o zobecněný přístup ke grafům a metrickým prostorům, reprezentaci grafů pomocí zobecněných metrik, distributivitu segmentačních prostorů, topografii zobecněných metrických prostorů atd.).

S M. Liebermanem, který dosahuje skvělých výsledků při studiu algebraických metod se zaměřením na aplikace v logice, je skupina spojena především užíváním nástrojů teorie kategorií při řešení algebraických a topologických problémů. V posledních letech se mu popařilo (ve spolupráci s J.Rosickým a S. Vaseym) zobecnit modelově-teoretický pojem stabilní nezávislosti (zahrnující např. algebraickou a lineární nezávislost) do kontextu abstraktních kategorií. Toto zobecnění ukázalo, kromě jiného, úzký vztah mezi závislostí a abstraktní homotopickou teorií. Vedlo také k lepšímu pochopení jemných struktur kategorií modulů a v pokračujícím výzkumu se bude M. Lieberman věnovat aplikacím získaných výsledků v teorii grafů. Ukazuje se, že zdánlivě jednoduché kategoriální argumenty postačují k určení hranic komplexity axiomatizací objektů, které se objevují v matematické analýze a ve fyzice (např. Banachovy prostory), takže objasňují logické nástroje vhodné k jejich studiu. Také tímto tématem se bude M. Lieberman zabývat.

Příbuznost výzkumných orientací všech tří členů skupiny vyústila v přípravu a podání společného projektu do GA ČR v r. 2021 s názvem „Categorical factorization systems and their applications in algebra and topology“, který však nebyl přijat k financování. Budeme usilovat o získání dalších vědeckých projektů včetně projektů zahraničních. Výzkumná skupina bude pokračovat v prohlubování a rozšiřování spolupráci mezi svými členy i spolupráce s podobně zaměřenými odborníky z českých i zahraničních univerzit. Budou v ní dočasně působit také odborníci ze zahraničí, kteří budou na Ústavu matematiky v rámci různých projektů pobývat. Budeme pokračovat v publikování dosažených výsledků v kvalitních vědeckých časopisech a na prestižních mezinárodních konferencích. Také se zaměříme na vypisování témat závěrečných prací pro studijní program Matematické inženýrství i témat doktorského studia v programu Aplikovaná matematika, abychom získali studenty pro práci ve skupině. Zapojíme se rovněž do propagace studijního programu Matematické inženýrství s cílem získání co největšího počtu kvalitních studentů pro tento program.

Personální složení:
Josef Šlapal (vedoucí), Michael Lieberman, Jan Pavlík