Detail předmětu

Matematické modelování kontinua

FSI-9MMK Ak. rok: 2025/2026 Zimní semestr

Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice, veličiny a formulace úloh. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasické, zobecněné a přibližné řešení. Prostory integrovatelných funkcí a integrální funkcionály.

Odvození rovnic kondukce, lineární a nelineární pružnosti. Pružné, vazké a plastické chování. Modelování heterogenního materiálu, homogenizace a sdružené úlohy.

Mechanika tekutin, odvození rovnic přenosu a Navierových-Stokesových rovnic. Sdružené úlohy: proudění s tepelnými jevy.

Existence, jednoznačnost a stabilita zobecněných řešení. Podmínky existence minima integrálního funkcionálu. Základní numerické metody: konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody. 

Garant předmětu

prof. RNDr. Jan Franců, CSc.

Zajišťuje ústav

Ústav matematiky

Výsledky učení předmětu

Prerekvizity

Vektory a matice, diferenciální a integrální počet více proměnných, obyčejné diferenciální rovnice. Vhodné absolvování předmětu 9RF1 Rovnice matematické fyziky.

Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody

Způsob a kritéria hodnocení

Zkouška se skládá z praktické a teoretické části. Praktická část: matematická formulace konkrétní inženýrské úlohy. Teoretická část: 3-5 otázek z probrané látky. V případě absence student si musí doplnit zameškanou látku samostudiem z literatury.

Jazyk výuky

čeština

Cíl

Cílem kurzu je seznámit posluchače s matematickým modelováním pomocí parciálních diferenciálních rovnic širšího spektra inženýrských úloh pro kontinuum: pružnost, kondukce, konvekce, lineární i nelineární modely a sdružené úlohy. Naučit studenty formulovat základní úlohy včetně počátečních a okrajových a dalších podmínek, vědět, kde jsou zdroje chyb. Připravit je tak ke kritickému přístupu k využívání výpočetních systémů např. MATLAB, ANSYS, atd.  

Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky

Použití předmětu ve studijních plánech

Program D-APM-P: Aplikovaná matematika, doktorský
obor ---: bez specializace, 0 kredity, doporučený kurs

Typ (způsob) výuky

 

Přednáška

20 hod., nepovinná

Osnova

Přednášky



  1. Pojem kontinua a jeho popis, souřadnice a veličiny, druhy úloh.

  2. Matematické prostředky: diferenciální rovnice, klasická a zobecněná řešení.

  3. Zákony zachování a konstituční vztahy. Lineární úlohy, odvození rovnice vedení tepla v tělese, formulace počáteční okrajové úlohy.

  4. Popis deformace a napětí v tělese, lineární a nelineární pružnost, Piolova transformace. Sdružené úlohy.

  5. Minimalizace integrálního funkcionálu, podmínky zobecněné konvexnosti.

  6. Heterogenní materiál: podmínky přechodu, homogenizace.

  7. Modely pružného, vazkého a plastického materiálu – hystereze.

  8. Modelování tekutin: souřadnice, veličiny. Odvození rovnic přenosu hmoty a tepla a Navierových Stokesových rovnic.

  9. Zobecněná formulace rovnic proudění.

  10. Metoda konečných prvků a konečných objemů, adaptivní metody.