Detail předmětu
Pokročilé metody matematické analýzy
FSI-SDR Ak. rok: 2025/2026 Letní semestr
Předmět je věnován dvěma základním okruhům, které se částečně prolínají. Jednak jde o úvod do tzv. moderní teorie (parciálních) diferenciálních rovnic a s tím spojených pojmů jako jsou zobecněné funkce, Sobolevovy prostory, věty o vnoření, slabá a variační formulace úloh. Další část je věnována vybraným metodám nelineární analýzy. Jde zejména o topologické metody, monotónní metody a variační metody. Diskutují se též aplikace těchto metod na různé typy úloh. Zmiňují se i elementy diferenciálního počtu v normovaných lineárních prostorech.
Garant předmětu
Zajišťuje ústav
Výsledky učení předmětu
Prerekvizity
Diferenciální počet, integrální počet, lineární algebra, obyčejné a parciální diferenciální rovnice, funkcionální analýza.
Plánované vzdělávací činnosti a výukové metody
Způsob a kritéria hodnocení
Zápočet: aktivní účast ve cvičeních (účast je povinná), úspěšné napsání testu.
Zkouška: Zkouška má ústní formu. Diskutována je teorie i příklady. Vyžaduje se orientace v probraných základních pojmech a principech a ilustrace teorie v konkrétních situacích.
Jazyk výuky
čeština
Cíl
Cílem kurzu je podat posluchačům přehled moderních a pokročilých metod (založených převážně na poznatcích z funkcionální analýzy) vhodných zejména pro kvalitativní analýzu lineárních i nelineárních úloh pro diferenciální rovnice. Studenti též získají orientaci ve zobecněných formulacích (slabých a variačních) úloh.
Vymezení kontrolované výuky a způsob jejího provádění a formy nahrazování zameškané výuky
Použití předmětu ve studijních plánech
Program N-MAI-P: Matematické inženýrství, magisterský navazující
obor ---: bez specializace, 5 kredity, povinný
Typ (způsob) výuky
Přednáška
26 hod., povinná
Osnova
Motivace.
Připomenutí vybraných základních pojmů funkcionální analýzy a teorie diferenciálních rovnic.
Zobecněné funkce a zobecněné derivace.
Sobolevovy prostory.
Věty o vnoření.
Stopy funkcí.
Slabá a variační formulace lineárních úloh.
Laxovo-Milgramovo lemma.
Diferenciální počet v normovaných lineárních prostorech.
Topologické metody (Brouwerova věta, Schauderova věta).
Aplikace vět o pevném bodu.
Teorie monotónních operátorů.
Aplikace monotónních metod.
Variační metody.
Aplikace variačních metod.
Cvičení
26 hod., povinná
Osnova
Ilustrace pojmů z přednášek na příkladech. Aplikace teoretických výsledků
v konkrétních situacích a na vybraných rovnicích.